Question

【題目】如圖，四邊形ADBC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，對角線AB、CD相交于點E．

（1）求證：∠BCD+∠ABD＝90°；

（2）點G在AC的延長線上，連接BG，交⊙O于點Q，CA＝CB，∠ABD＝∠ABG，作GH⊥CD，交DC的延長線于點H，求證：GQ＝GH．

（3）在（2）的條件下，過點B作BF∥AD，交CD于點F，GH＝3CH，若CF＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為2.

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠ACB＝90°＝∠ADB，即可得結論；

（2）過點A作AM⊥AD，交DC的延長線于點M，連接AQ，MG，通過證明△AMG≌△AQG，可得MG＝GQ，∠AMG＝∠AQG＝90°，可證HM＝HG，即可得結論；

（3）延長MG與DB的交點為N，延長BF交AG于點P，通過證明△PCF∽△GCM，可得MC＝CF＝，MG＝PF，通過證明△HGC∽△DAB，可得AD＝3BD，由MD＝AD，可求BD的長，即可求⊙O的半徑．

證明：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°＝∠ADB，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∵∠ACD＝∠ABD，

∴∠BCD+∠ABD＝90°；

（2）如圖，過點A作AM⊥AD，交DC的延長線于點M，連接AQ，MG．

∵AB是直徑

∴∠AQB＝∠ACB＝∠ADB＝90°

∵CA＝CB

∴∠ABC＝∠BAC＝45°

∴∠ADC＝∠ABC＝45°

∵AM⊥AD

∴∠ADM＝∠AMD＝45°

∴AM＝AD，

∵∠ABD＝∠ABG，∠AQB＝∠ADB，AB＝AB

∴△AQB≌△ADB（AAS）

∴AD＝AQ，∠BAD＝∠BAQ

∴AQ＝AM，

∵∠CAB＝45°

∴∠BAD+∠MAG＝45°，∠BAQ+∠GAQ＝45°

∴∠MAG＝∠GAQ，且AM＝AD，AG＝AG

∴△AMG≌△AQG（SAS）

∴MG＝GQ，∠AMG＝∠AQG＝90°

∵∠AMD＝45°

∴∠GMH＝45°

∵GH⊥MD

∴∠HMG＝∠HGN＝45°

∴HM＝HG

∴MG＝HG

∴GQ＝HG；

（3）如圖，延長MG與DB的交點為N，延長BF交AG于點P．

∵∠MAD＝∠AMN＝∠ADB＝90°

∴四邊形ADNM是矩形，且AD＝AM

∴四邊形ADNM是正方形

∴AM＝AD＝MN＝DN，MN∥AD

∴∠GAD＝∠AGM＝∠AGB

∵BF∥AD

∴∠GPB＝∠GAD＝∠AGB

∴BG＝BP，且BC⊥AG

∴PC＝CG

∵BP∥AD∥MN

∴△PCF∽△GCM

∴＝1

∴MC＝CF＝，MG＝PF，

∵∠ACD＝∠HCG＝∠ABD，∠GHC＝∠ADB＝90°

∴△HGC∽△DAB

∴，且GH＝3CH，

∴AD＝3BD

∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠FBD＝90°

∴FD＝BD

∵AD＝AM，∠MAD＝90°

∴MD＝AD

∴++BD＝×3BD

∴BD＝4

∴AD＝12

∴AB＝=

∴⊙O的半徑為．