Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于A、B兩點，過點C（，0）作CD交AB于D，交軸于點E.且△COE≌△BOA.

（1）求B點坐標為 ；線段OA的長為 ；

（2）確定直線CD解析式，求出點D坐標；

（3）如圖2，點M是線段CE上一動點（不與點C、E重合），ON⊥OM交AB于點N，連接MN.

①點M移動過程中，線段OM與ON數量關系是否不變，并證明；

②當△OMN面積最小時，求點M的坐標和△OMN面積.

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），OA=3；（2）CD：，D（，）；（3）①OM=ON保持不變，見解析；②當OM最小時，△OMN面積最小為，此時OM∥AB，M（，）

【解析】

（1）令x=0求出y的值，即可求出點B的坐標；先求出點A的坐標即可求出OA的長；

（2）根據△COE≌△BOA求出點E的坐標，然后用待定系數法求解即可；

（3）①先證明△COM≌△BON，根據全等三角形的判定和性質得出OM=ON；

②由△OMN面積=可知當OM⊥CD時，△OMN面積的面積最小，設M(x, )，利用面積法求解即可.

解：（1）當x=0時，，

∴B（0，4）；

當y=0時，

，

∴x=3，

∴A(3，0)，

∵OA =3；

（2）∵△COE≌△BOA，

∴OE=OA=3，

∴E（0，3）.

設CD解析式為y=kx+b，

把C（，0），E（0，3）代入得

，

解得

，

∴；

解 得，

∴D（，）；

（3）①線段OM與ON數量關系不變，OM=ON，理由：

∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM與△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON；

（3）△OMN面積=，

∴當OM⊥CD時，△OMN面積的面積最小，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCE=∠DBE，

∵∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠BED+∠DBE=90°，

∴CD⊥AD,

∴OM∥AB,

∵,

∴,

解得，

∴M（，）.