Question

（2006•達州）如圖，拋物線y=-x²+bx+2交x軸于A、B兩點（點B在點A的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=，O為坐標原點．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求證：∠ACB是直角；
（3）拋物線上是否存在點P，使得∠APB為銳角？若存在，求出點P的橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得A，B．C三點坐標；
（2）設拋物線的對稱軸交x軸于M點，則M為AB的中點，AB為⊙M的直徑，故∠ACB=90°；
（3）連接CD，求出D點坐標，如圖1．設點P（x，y）是拋物線上任意一點，要使得∠APB為銳角，分情況討論P點坐標．
解答：
（1）解：D=A、B、C三點的坐標分別為（4，O），（-1，O），（O，2）．

（2）證明：△BOC∽△COA，∠BC0=∠CAO．

（3）解：設拋物線的對稱軸交x軸于M點，則M為AB的中點，
且其坐標為（，0），∠BCA=90°，
∵B、C、A三點都在以BA為直徑的0M上，
又拋物線y=-++2和⊙M都關于直線x=對稱．
∴c點關于x=的對稱點D必在拋物線上，也在⊙M上．
連接CD，交直線x=交于N點，易知N點坐標為（，2），而N為CD的中點，
∴D點坐標為（3，2），（7分）
作出⊙M，則⊙M將拋物線分成BC段、CD段、DA段及x軸下方的部分（如圖1所示）．
設點P（x，y）是拋物線上任意一點，
當P點在CD段（不包括C、D兩點）及在x軸下方的部分時，P點均在⊙M外．
當P點在⊙M外時，不失一般性，令P點在CD段，
連接BP交OM于Q點，連接AQ、AP（如圖2），則：
∠BQA是△PAQ的外角．
∴∠APQ＜AQB．
又AB是⊙M的直徑∠AQB-90°，
∴∠APB＜90°，
故當P點在OM外時，P點對線段BA所張的角為銳角，即∠APB為銳角．
即當x＜-1或0＜x＜3或x＞4時，∠APB為銳角．
故拋物線上存在點P，當點P的橫坐標x滿足x＜-1或O＜x＜3或x＞4時，∠APB為銳角．（10分）
點評：本題考查的是二次函數的兩點坐標式以及圓的切線等綜合知識，難度較大．