Question

如圖，⊙O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，切點分別為E，F(xiàn)，G，H，其中AB∥CD，連接OB交⊙O于點P，連接OC，OG，OE，F(xiàn)G，F(xiàn)P，下列結論：①EG為⊙O的直徑；②∠OGF=∠OCF；③若∠A=60°，則四邊形OPFG是菱形；④直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線．其中正確的有（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)，切線長定理逐一判斷．

解答：解：①∵CD、AB為⊙O的切線，∴OG⊥CD，OE⊥AB，又CD∥AB，∴O、E、G三點共線，即EG為直徑，正確；
②連接OF，根據(jù)切線長定理可知，CG=CF，∴∠OCF=∠OCG，
又OF=OG，∴OC垂直平分FG，
∴∠OCG+∠CGF=90°，又∠OGF+∠CGF=90°，故∠OGF=∠OCF，正確；
∴③∠A=60時，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知∠EBF=60°，根據(jù)切線長定理可知BO平分∠EBF，即∠OBF=30°，
又OF⊥BF，∴∠BOF=60°，故△OPF為等邊三角形，又∠EOB=∠FOB=60°，可得△OFG為等邊三角形，
∴四邊形OPFG為菱形，正確；
④如圖，過O點作OM∥AB交BC于點M，則OM為梯形BCGE的中位線，
∴BM=CM=

1

2

BC，OM=

1

2

（BE+CG）=

1

2

（BF+CF）=

1

2

BC，即BM=CM=OM，
又∵BE⊥EG，∴OM⊥EG，∴直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線，正確．
①②③④都正確，故選A．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，切線的判定定理，等腰梯形的性質(zhì)及梯形中位線定理．具有一定的綜合性，解題時，要根據(jù)要根據(jù)每個結論的要求，合理地選擇所需要的性質(zhì)或判斷．