Question

把邊長為1的正方形紙片沿對角線剪開，得△ABC和△DEF．然后，將△DEF的頂點D置于△ABC斜邊中點處，使△DEF繞點D沿順時針旋轉．
（1）當△DEF旋轉到DF過直角頂點C時（如圖1）此時DF與AC的交點H與點C重合，試判斷∠DGB與∠DGH的關系，并給以證明；
（2）當△DEF繼續旋轉的角度為α（0＜α＜45°）（如圖2）時，（1）中的結論是否成立？若成立，請給以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠DGB=∠DGH，△ABC中，可以得到△ACD和△BCD都是等腰直角三角形，再根據三線合一定理與直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出結論．
（2）（1）中的結論仍然成立，可以證明△DBI≌△DCH，進而證明△DGH≌△DGI．
解答：證明：（1）∠DGB=∠DGH．
在等腰Rt△ABC中，D是AB中點，
∴HD⊥AB，
∴DH=AB=DB．
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG⊥HB，
因此∠DGB=∠DGH．

（2）（1）中的結論仍然成立．∠DGB=∠DGH．
連接DC，在BC上截取BI=CH，連接DI．
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH，
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB，
∴∠HDI=∠CDB=90°，
∵∠FDE=45°=∠GDI，DG公共，
∴△DGH≌△DGI，
∴∠DGB=∠DGH．
點評：本題主要是理解特殊與一般的關系，通過特殊的圖形的證明，發現一般圖形中存在的結論．