Question

某班參加校運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1～19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的某3名運動員，他們運動服號碼數之和不小于32，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由已知，1～19號運動員隨意地站成一個圓圈，求出6組有順次相鄰的某3名運動員的號碼的和，從每組都小于等于31，得6組的和與計算出6組的和矛盾確定一定有順次相鄰的某三名運動員，他們運動服號碼數之和不小于32．
解答：解：設在圓周上按逆時針順序以1號為起點記運動服號碼數為a₁，a₂，a₃，…，a₁₈，a₁₉，
顯然a₁=1，而a₂，a₃，…，a₁₈，a₁₉就是2，3，4，5，6，…，18，19的一個排列．
令A₁=a₂+a₃+a₄；
A₂=a₅+a₆+a₇；
A₃=a₈+a₉+a₁₀；
A₄=a₁₁+a₁₂+a₁₃；
A₅=a₁₄+a₁₅+a₁₆；
A₆=a₁₇+a₁₈+a₁₉；
則A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆；
=a₂+a₃+a₄+…+a₁₇+a₁₈+a₁₉；
=2+3+4+…+17+18+19；
=189（*）．
如果A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆中每一個都≤31，則有A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆≤6×31=186，與（*）式矛盾．
所以A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆中至少有一個大于31．為確定起見，不妨就是A₁＞31，即a₂+a₃+a₄＞31，但a₂+a₃+a₄是整數，
所以必有a₂+a₃+a₄≥32成立．
所以，一定有順次相鄰的某三名運動員，他們運動服號碼數之和不小于32．
點評：此題考查的知識點是推理與論證，同時也考查了學生對問題靈活處理的綜合能力．解題的關鍵是求出6組有順次相鄰的某3名運動員的號碼的和，從每組都小于等于31，得6組的和與計算出6組的和矛盾確定一定有順次相鄰的某三名運動員，他們運動服號碼數之和不小于32．