Question

【題目】已知:CP是等邊△ABC的外角∠ACE的平分線，點D在邊BC上，以D為頂點，DA為一條邊作∠ADF=60°,另一邊交射線CP于F

(1)求證:AD=FD

(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y關于x的函數解析式

(3)若點D在線段BC的延長線上，（1）中的結論還一定成立嗎？若成立，請證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）成立，證明見解析.

【解析】

（1）利用外角平分線得：∠ACP=∠PCE=60°，證明A、D、C、F四點共圓，從而得出△ADF是等邊三角形，所以AD=FD；

（2）作AM⊥BC于M．證明AD2=AEAB，即可解決問題；

（3）同（1）得：A、C、D、F四點共圓，則△ADF 是等邊三角形，所以AD=FD．

（1）連接AF，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACE=120°，

∵CP平分∠ACE，

∴∠ACP=∠PCE=60°，

∴∠ADF=∠ACP=60°，

∴A、D、C、F四點共圓，

∴∠AFD=∠ACB=60°，

∴∠ADF=∠AFD=60°，

∴∠DAF=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=FD；

（2）過A作AM⊥BC于M，如圖，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AB=2，BM=BC=1，

∴AM=

∵BD=x，

∴MD=x-1，

∵△ADF是等邊三角形，

∴AD=DF=y，

在Rt△AMD中，

∴，即；

（3）如圖，

同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，

∴A、C、D、F四點共圓，

∴∠FAD=∠FCD=60°，

∴∠AFD=60°，

∴△ADF 是等邊三角形，

∴AD=FD．