Question

【題目】（2017湖北省十堰市，第24題，10分）已知O為直線MN上一點，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點，DE⊥DC交MN于E．

（1）如圖1，若點B在OP上，則：

①AC OE（填“＜”，“=”或“＞”）；

②線段CA、CO、CD滿足的等量關系式是 ；

（2）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（0°＜α＜45°），如圖2，那么（1）中的結論②是否成立？請說明理由；

（3）將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉α（45°＜α＜90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關系式 ．

Answer 1

【答案】（1）①=；②AC2+CO2=CD2；（2）不成立；（3）OC﹣CA=CD．

【解析】

試題（1）①如圖1，證明AC=OC和OC=OE可得結論；

②根據勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；

（2）如圖2，（1）中的結論②不成立，作輔助線，構建全等三角形，證明A、D、O、C四點共圓，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再證明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根據勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最長邊為斜邊可得結論；

（3）如圖3，連接AD，則AD=OD證明△ACD≌△OED，根據△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代換可得結論（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，開方后是：OC﹣AC=CD．

試題解析：解：（1）①AC=OE．理由如下：

如圖1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°．∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°．∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC．連接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四邊形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；

②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；

故答案為AC2+CO2=CD2；

（2）如圖2，（1）中的結論②不成立．理由是：

連接AD，延長CD交OP于F，連接EF．∵AB=AO，D為OB的中點，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO．∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四點共圓，∴∠ACD=∠AOB．同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC．∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF．∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2．Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的結論②不成立；

（3）如圖3，結論：OC﹣CA=CD．理由是：

連接AD，則AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO．∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC．∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC=CD．故答案為OC﹣AC=CD．