Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

                                       
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；
（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G，且MB=MG．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴，，∵BD平分∠ABC，∴，∴，∵DE⊥AB于點E，∴，∴，∴△BCE是等邊三角形
（2）AD = DG＋DM

（3）AD = DG－DN

試題分析：（1）要證明△BCE是等邊三角形，首先要知道BC和BE相等，由于已給出，所以要證明，只需證明，利用題目中給出的數據，可以很容易求出。（2）由于，且，所以△MGB是等邊三角形，做GF交DB于點F，所以△DFG為等邊三角形，所以，又，，所以△MDG≌△BFG，所以，又，，而，所以
（3）延長BD至H，使得，由（1）得，，∵DE⊥AB于點E，∴，∴，∴△NDH是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，即，在△DNG和△HNB中，，，，∴△DNG≌△HNB，∴DG=HB，∵HB=HD＋DB=ND＋AD，∴DG= ND＋AD，∴AD = DG－ND
點評：本題較為復雜，第一問通過直角三角形的特殊性，可以較容易解出來