Question

（2011•邯鄲一模）如圖1，△ABC和△BCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AC與BD交于點E，點P從點C出發，以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動．過點P作PQ∥CD，交BD于Q點，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設點P的運動時間為x（秒）．
（1）CE=

25

8

；當PQ=

5

2

時，x=

25

16

；
（2）當點P在線段CE上運動時，設線段PQ的長為y，求y與x之間的函數關系式；
（3）當點P在線段CE上運動時，設正方形PQMN與△ECD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），求S與x之間的函數關系式；當x為何值時，S有最大值？
（4）當0≤x≤5時，直接寫出AC的中點在正方形PQMN內部時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據AB∥CD，可以得到

AE

EC

=

AB

CD

，即可求得CE的長度，進而依據PQ∥CD，得到

EP

EC

=

PQ

CD

求得EP的長，進而得到CP的長度，求得x的值；
（2）根據PQ∥CD，得到△EQP∽△EDC，在根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得函數的解析式；
（3）根據△EQP∽△EDC，利用x表示出PN的長，則函數解析式即可求得，然后利用二次函數的性質，即可求得最值；
（4）顯然，當P在CE上時，不合題意．則P一定在AE上，根據AC的中點O到PQ的距離一定小于正方形的邊長，即可求得x的范圍．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠ABC=∠DCB=90°
∴AB∥CD
∴

AE

EC

=

AB

CD

=

3

5

∴CE=

25

8

，
∵PQ∥CD
∴

EP

EC

=

PQ

CD

=

5 2

5

=

1

2

，
∴PE=

1

2

CE=

25

16

∴x=CP=EC-EP=

25

16

，
當點P在EA上時，也可能出現PQ=2.5，此時x=

25

16

；

（2）∵PQ∥CD，
∴△EQP∽△EDC．
∴

PQ

CD

=

EP

EC

∴

y

5

=

25 8 -x

25 8

∴y=-

8

5

x+5；

（3）設PN與CD的交點為K，由△CKP∽△ABC得PK=

4

5

x，
應分兩種情況討論：①0≤x≤

25

12

時，S=-

32

25

x²+4x，
當x=

25

16

時，S有最大值為

25

8

； 
②當

25

12

≤x≤

25

8

時，S=(-

8

5

x+5)2=

64

25

(x-

25

8

)2，
對應圖象在對稱軸左側，此時S隨x的增大而減小，當x=

25

12

時，S有最大值

25

9

．
綜上所述，當x=

25

16

時，S有最大值為

25

8

； 

（4）顯然，當P在CE上時，不合題意．當P在AE上時，PQ=

8x

5

-5，
設AC中點為O，O到PQ的距離為OT，則OT=

4x

5

-2，
由PQ＞OT即

8x

5

-5＞

4x

5

-2，得x＞

15

4

．
所以

15

4

＜x≤5為所求．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質與二次函數的性質的綜合應用，正確求得函數的解析式是關鍵．