Question

已知拋物線y=a（x+1）²+c與x軸交于點A（-3，0），
（1）直接寫出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）若直線過拋物線頂點M及拋物線與y軸的交點C（0，3）．
①求直線MC所對應的函數關系式；
②若直線MC與x軸的交點為N，在拋物線上是否存在點P，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知拋物線的解析式，可得到拋物線的對稱軸方程，從而根據A點坐標求出點B的坐標．
（2）根據A、B、C三點坐標，即可求得拋物線的解析式和它的頂點坐標；
①已經求得M、C的坐標，利用待定系數法求解即可；
②假設存在符合條件的P點，分兩種情況考慮：
1）以N為直角頂點，即PN為另一條直角邊；
易求得點N的坐標，根據C、N點的坐標可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y軸截取OD=ON，易得點D的坐標，即可求出直線DN的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標；
2）以C為直角頂點，即PC為另一條直角邊；
根據A、C的縱坐標知：∠CAN=45°，此時∠ACN=90°，那么點A即為所求的P點；
綜合上述兩種情況，即可得到符合條件的P點坐標．

解答：解：（1）由題意知，拋物線的對稱軸為：x=-1，
已知A（-3，0），
故B（1，0）．

（2）①∵點B（1，0），C（0，3）在拋物線上，拋物線與y軸交于點C（0，3）；
∴

a+c=3 4a+c=0

，
解得

a=-1 c=4

，
∴拋物線所對應的函數關系式為y=-（x+1）²+4；
∴M（-1，4）設直線MC所對應的函數關系式為y=kx+b，
∴

-k+b=4 b=3

，
解得

k=-1 b=3

，
∴直線MC所對應的函數關系式為y=-x+3；
②假設在拋物線上存在異于點C的點P，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形．
1）若PN為△NPC的另一條直角邊，如圖1；
易得直線MC與x軸的交點坐標為N（3，0），
∵OC=ON，
∴∠CNO=45°，
在y軸上取點D（0，-3），連接ND交拋物線于點P，
∵ON=OD，
∴∠DNO=45°，
∴∠PNC=90°．
設直線ND的函數表達式為y=mx+n；
可得

3m+n=0 n=-3

，
解得

m=1 n=-3

∴直線ND的函數表達式為y=x-3；
設點P（x，x-3），并將它代入拋物線的函數表達式，得x-3=-（x+1）²+4，
即x²+3x-6=0，
解得x1=

-3+ 33

2

，x2=

-3- 33

2

，
∴y1=

-9+ 33

2

，y2=

-9- 33

2

；
∴滿足條件的點為P1(

-3+ 33

2

，

-9+ 33

2

），P2(

-3+ 33

2

，

-9- 33

2

）．

2）若PC是另一條直角邊，如圖2；
∵點A是拋物線與x軸的另一交點，
∴點A的坐標為（-3，0）；
連接AC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
又∵∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴點A就是所求的點P₃（-3，0）；
第二種解法：求出直線AC的函數表達式為y=x+3；
設點P（x，x+3），代入拋物線的函數表達式，
得x+3=-（x+1）²+4，
即x²+3x=0；
解得x₁=-3，x₂=0；
∴y₁=0，y₂=3，
∴點P₃（-3，0），P₄（0，3）（舍去）．]
綜上可知，在拋物線上存在滿足條件的點有3個，分別P1(

-3+ 33

2

，

-9+ 33

2

），P2(

-3+ 33

2

，

-9- 33

2

），P₃（-3，0）．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數的對稱性、用待定系數法確定函數解析式的方法、直角三角形的判定、函數圖象交點坐標的求法等知識，需注意的是（2）②中，C、N都有可能是直角頂點，需要分類討論，以免漏解．