Question

（本題滿分10分） 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE＝OE＝2．

（1）求證：∠A＝2∠DCB；

（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留和根號）．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度數，關鍵三角形內角和定理求出∠A，即可得出答案；

（2）根據勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OD，

∵AB是⊙O切線，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，

∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；

（2）【解析】
∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=，

∴陰影部分的面積S=S△ODB﹣S扇形DOE=．

考點：1．切線的性質；2．扇形面積的計算．