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(本題滿分10分) 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,E為BC上一點,以CE為直徑作⊙O,AB與⊙O相切于點D,連接CD,若BE=OE=2.

(1)求證:∠A=2∠DCB;

(2)求圖中陰影部分的面積(結果保留和根號).

 

(1)證明見試題解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OD,求出∠ODB=90°,求出∠B=30°,∠DOB=60°,求出∠DCB度數,關鍵三角形內角和定理求出∠A,即可得出答案;

(2)根據勾股定理求出BD,分別求出△ODB和扇形DOE的度數,即可得出答案.

解答:(1)證明:連接OD,

∵AB是⊙O切線,∴∠ODB=90°,∴BE=OE=OD=2,∴∠B=30°,∠DOB=60°,

∵OD=OC,∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°,

∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,∴∠A=2∠DCB;

(2)【解析】
∵∠ODB=90°,OD=2,BO=2+2=4,由勾股定理得:BD=

∴陰影部分的面積S=S△ODB﹣S扇形DOE=

考點:1.切線的性質;2.扇形面積的計算.

 

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