Question

1．將一副三角板按如圖擺放，其中△ABC為含有45度角的三角板，直線AD是等腰直角三角形ABC的對稱軸，且將△ABC分成兩個等腰直角三角形，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點，有下列四個結(jié)論：①BD=AD=CD②△AED≌△CFD③BE+CF=EF④S_{四邊形AEDF}=$\frac{1}{4}$AB²．其中正確結(jié)論是①②④（填寫正確序號）

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD=BD，故①正確，∠CAD=∠B=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，判斷出②正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF，求出AE=CF，根據(jù)BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出③錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△ADF=S_△BDE，從而求出S_{四邊形AEDF}=S_△ABD=$\frac{1}{4}$AB²，判斷出④正確．

解答 解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點D為BC中點，
∴AD=CD=BD，故①正確；
AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠EAD=∠C，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正確；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，故③錯誤；
∵△BDE≌△ADF，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∴S_{四邊形AEDF}=S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD²=$\frac{1}{4}$AB²．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定方法并求出△ADE和△CDF全等是解題的關(guān)鍵．