Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．

【解答】證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF為等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，等腰直角三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，是基礎題，熟記三角形全等的判定方法與各性質是解題的關鍵．