Question

如圖所示，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上的一動點，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足為E，F．

(1)當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？猜想并證明；

(2)在(1)中，當P運動到什么位置時，矩形PEMF變為正方形，為什么？

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當AD＝2AB時，四邊形PEMF為矩形． 　　∵AD＝2AB，而AM＝DM．∴△AMB為等腰直角三角形， 　　同理，△CDM為等腰直角三角形，∴∠AMB＝∠DMC＝45°， 　　∴∠BMC＝90°． 　　又∠MFP＝∠MEP＝90°，∴四邊形PEMF為矩形． 　　(2)當點P位于BC中點時，矩形PEMF為正方形． 　　∵△BMC為等腰直角三角形，當點P位于BC的中點時，矩形PEMF為正方形． 　　∵△BMC為等腰三角形，當點P位于BC中點時，有PE＝PF，故矩形PEMF為正方形．