Question

12．已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在直線AB上，AB=$\frac{3}{2}$AE，在直線BC上取點D，若ED=EC，則CD的長為2或10．

Answer 1

分析 根據點E在直線AB上，AB=$\frac{3}{2}$AE，可得點E在BA延長線上或線段AB上，據此分兩種情況進行討論，根據等腰三角形的性質以及含30°角的直角三角形，求得CD的長即可．

解答 解：分兩種情況：
①當點E在BA延長線上時，過點E作EF⊥BC于F，則
Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∵AB=$\frac{3}{2}$AE=6，
∴AE=4，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（4+6）=5，
∵BC=6，
∴CF=6-5=1，
∵ED=EC，EF⊥CD，
∴CD=2CF=2；
②當點E在線段AB上時，過E作EF⊥BC于F，則
Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$（AB-AE）=1，
∵BC=6，
∴CF=6-1=5，
∵ED=EC，EF⊥CD，
∴CD=2CF=10．
綜上所述，CD的長為2或10．
故答案為：2或10．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，依據等腰三角形的三線合一的性質進行計算．