Question

12．關于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）若方程兩實根x₁，x₂滿足|x₁|+|x₂|=x₁•x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據方程有兩個不相等的實數根可得△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3＞0，求出k的取值范圍；
（2）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對值，進而得到2k+1=k²+1，結合k的取值范圍解方程即可．

解答 解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
又∵x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
∵|x₁|+|x₂|=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

點評 此題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判別式和根與系數的關系的應用，（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．