Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；

（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；

（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，是否存在這樣的點P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸正半軸上運動，當以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標為（5，－5）；（4）或5．

【解析】

試題（1）利用待定系數法進行求解即可；

（2）先求出拋物線的對稱軸，利用對稱性即可寫出點C的坐標，利用三角形面積公式即可求面積；

（3）利用三角形的面積以及點P所處象限的特點即可求；

（4）分情況進行討論，確定點M、N，然后三角形的面積公式即可求.

試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，

∴拋物線的表達式為y＝－x2＋4x．

（2）∵拋物線的表達式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．

又C，B關于對稱軸對稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．

（3）存在點P．作PQ⊥BH于點Q，設P（m，－m2＋4m）．

∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．

∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP

∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）

整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點P的坐標為（5，－5）．

（4）或5．

提示：①當以M為直角頂點，則S△CMN＝；

②當以N為直角頂點，S△CMN＝5；

③當以C為直角頂點時，此種情況不存在．