Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3 cm，BC=7 cm，∠B=60°，P為下底BC上一點（不與B、C重合），連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

(1)求證：△ABP∽△PCE;

(2)求等腰梯形的腰AB的長；

(3)在底邊BC上是否存在一點P，使得DE:EC=5:3？如果存在，求出BP的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（2）4cm（3）BP=1cm或BP=6cm

【解析】

試題分析：（1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對應角相等；由等腰梯形的性質可得出∠B=∠C，根據三角形外角的性質可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；

（2）可過作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性質得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據∠B的度數及BF的長即可求得AB的值；

（3）在（2）中求得了AB的長，即可求出DE：EC=5：3時，DE、CE的值．設BP的長為x，進而可表示出PC的長，然后根據（1）的相似三角形，可得出關于AB、BP、PC、CE的比例關系式，由此可得出關于x的分式方程，若方程有解，則x的值即為BP的長．若方程無解，則說明不存在符合條件的P點．

試題解析：證明：（1）∠BAP+∠BPA=120°

∠APB+∠CPE=120°

∴∠BAP=∠CPE

又∠ABP=∠PCE

∴△ABP∽△PCE

（2）過A、D分別作AG⊥BC，DH⊥BC

易得四邊形AGHD是矩形

GH=AD=3cm

∴cm

在Rt△ABG中

cm

（3）由DE:EC=5：3

∴,.

又△ABP∽△PCE

∴

即

BP(7-BP)=6

BP=1cm或BP=6cm

考點：三角形相似的判定，三角形外角的性質，等腰梯形的性質，解直角三角形