Question

正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點，連接MD、ME．
（1）如圖，B、C、G依次在同一條直線上，求證：△MDE等腰直角三角形；

（2）如圖，正方形CEFG繞頂點C旋轉45°，使B、C、F依次在同一條直線上，則△MDE的形狀是；

（3）如圖，將正方形CEFG任意旋轉，設∠DCE=α°，猜想△MDE的形狀，寫出你的結論并給予證明．

Answer 1

解：（1）延長DM交EF于H點

∵正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點，
∴∠DAM=∠HFM，AM=MF，∠AMD=∠FMH．
∴△MAD≌△MFH．
∴DM=MH，AD=FH．
∴ED=EH，△DEH為等腰直角三角形，
∴△MDE為等腰直角三角形；

（2）△MDE為等腰直角三角形．

（3）如圖，延長DM到H使DM=MH，連接EH，延長FH于DC的延長線交于點N．
易證△ADM≌△FHM，∴AD=FH=CD．
∵∠DCE+∠NCG=90°，∠EFH+∠NFG=90°，
∴∠DCE=∠EFH．
∴△DCE≌△FHE．
∴DE=EH，∠DEC=∠FEH，∠DEH=90°．
∵DM=EM，
∴△MDE為等腰直角三角形．
分析：本題是變式拓展題，關鍵是掌握（1）的證明方法．
延長DM交EF于H點，可以構造△MAD≌△MFH；△DEH為等腰直角三角形，EM為中線，從而可證：△MDE等腰直角三角形；
（2）（3）圖形發生了變化，證明方法類似．
點評：在正方形中證明三角形全等，并運用全等的性質解題是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．