Question

如圖，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點，連結BD，交線段AM于點N，如果以A，N，D為頂點的三角形與△BME相似，則線段BE的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：分類討論

分析：如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進行討論：①當∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關于DE，BE，EM的比例關系式，即可求出x的值．
②當∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BME，可根據這兩個角的正切值求出x的值．

解答：解：因為如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應分兩種情況進行討論，設BE長為x．
①如圖1，當∠ADN=∠BEM時，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足為F，
tan∠ADB=tan∠BEM，
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②如圖2，當∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴

DE

BE

=

BE

EM

，
BE²=DE•EM=

1

2

DE²=

1

2

（DF²+EF²），
∴BE²=

1

2

[2²+（4-x）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
綜上所述線段BE為8或2，
故答案為8或2．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，題目的難度在于要根據不同的對應角相等來分情況討論，不要漏解．