Question

附加題，如圖，在△ABC中，∠C=2∠B．
（1）AD是△ABC的角平分線，求證：AB=AC+CD．
（2）若AD是△ABC的外角平分線交BC的延長線于D，其它條件不變，線段AB，AC，CD之間有什么確定的數量關系？畫圖并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）在AB上取一點E，使得AE=AC，連接DE，證明△ACD≌△AED，得出CD=DE，及證明△EDB為等腰三角形，得出DE=BE，得出AB=AC+CD；
（2）在AB的延長線AF上取一點E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，DE=BE，BE=CD，得出結論．

解答：（1）證明：在AB上取一點E，使得AE=AC，連接DE
在△ACD和△AED中

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

．
∴△ACD≌△AED
∴∠C=∠AED，CD=DE
又∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
又∵∠AED=∠B+∠EDB
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=AC+CD

（2）AB=CD-AC
證明：在BA的延長線AF上取一點E，使得AE=AC，連接DE
在△ACD和△AED中
∵

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

．
∴△ACD≌△AED
∴∠ACD=∠AED，CD=DE
∴∠ACB=∠FED
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FAD=2∠B
又∵∠FED=∠B+∠EDB
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=CD-AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定、三角形的角平分線的性質及三角形內外角的關系；正確作出輔助線是解答本題的關鍵，證明線段的和差問題往往是通過全等來證明的．