Question

如圖，將□ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．⑴求證：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC＝2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。∵EC＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF
（2）∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形。∴AF＝EF， BF＝CF。∵四邊形ABCD是平行四邊形。
∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB。∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC。∴四邊形ABEC是矩形

試題分析：
證明：⑴證明全等三角形，可以采用SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形可用HL，觀察圖形和審題，可以找到對(duì)頂角相等，由于位于平行四邊形中，還有內(nèi)錯(cuò)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，由此可找出相應(yīng)條件證明。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。∵EC＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF。
（2）證明四邊形是矩形，可以通過證明有一個(gè)角是90°的平行四邊形，或者證明是對(duì)角邊互相平分的平行四邊形。證明過程如下：
∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形。∴AF＝EF， BF＝CF。∵四邊形ABCD是平行四邊形。
∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB。∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC。∴四邊形ABEC是矩形。
點(diǎn)評(píng)：該題考查學(xué)生對(duì)全等三角形和矩形的證明，要熟練掌握相應(yīng)的判定定理，尋找題中提供的條件，再選擇證明方法。