Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，延長CO交AB于點D，記∠A=，∠ABC=β．

（1）求∠ADC的度數(用含α、β的式子表示)；

（2）過點C作CE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F，CE，BF相交于點G，取中點H，連接GH．若α+β=120°，求證：①CG=CO；②GH∥CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析．

【解析】

（1）根據∠CDA=∠DCB+∠ABC，只要求出∠DCB即可解決問題．

（2）①延長CD交⊙O于T，連接BT，OH．根據CT是直徑，可得∠AEC=∠BFC=∠CBT=90°，根據等量關系可得∠FCG=∠BCT，然后可得△CFG∽△CBT，根據α+β=120°可得∠ACB=60°，然后求出∠CBF=30°，根據相似的性質求出CG=CT =CO；

②根據垂弦定理得出OH⊥AB，已知CE⊥AB，可得CG∥OH，推出四邊形CGHO是平行四邊形即可解決問題．

（1）解：如圖1中，連接OB，

∵∠BOC=2∠A=2，OC=OB，

∴∠OCB=（180°-2）=90°-，

∴∠ADC=∠OCB+∠ABC=．

（2）證明：如圖2，延長CD交⊙O于T，連接BT，OH．

①∵CT是直徑，

∴∠CBT=90°，

∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠AEC=∠BFC=∠CBT=90°，

∴∠A+∠ACE=90°，∠T+∠BCT=90°，

∵∠A=∠T，

∴∠FCG=∠BCT，

∵α+β=120°，

∴∠ACB=60°，

∴∠CBF=30°，

∴BC=2CF，

∵∠FCG=∠BCT，∠CFG=∠CBT=90°，

∴△CFG∽△CBT，

∴=2，

∴CG=CT=OC=OT=OH，

②∵ ，

∴OH⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴CE∥OH，∵CG=OH，

∴四邊形CGHO是平行四邊形，

∴GH∥CD．