Question

設△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE．

Answer 1

分析：如果設BD與CE交于點O，在BO上取一點F，使OF=OE，在OC上取一點H，使OH=OD，連接FH，則FD=HE．過H作BC的平行線交BD與M．首先，由角平分線的性質及∠ACB＞∠ABC，得出∠OCB＞∠OBC；再根據同一三角形中大角對大邊，得出OM＞OH；然后由MH∥BC，根據平行線分線段成比例定理，得出BM＞CH，從而證出結論．

解答：解：設BD與CE交于點O，在BO上取一點F，使OF=OE，在OC上取一點H，使OH=OD，連接FH，則FD=HE．過H作BC的平行線交BD與M．
∵BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC，
又∵∠ACB＞∠ABC，
∴∠OCB＞∠OBC．
∵MH∥BC，
∴∠OHM=∠OCB，∠OMH=∠OBC，
∴∠OHM＞∠OMH，
∴OM＞OH．
∵MH∥BC，
∴

OM

BM

=

OH

HC

，
∴BM＞CH，
又∵FD=HE，
∴BD＞CE．

點評：本題考查了角平分線、平行線的性質，三角形中大角對大邊以及平行線分線段成比例定理．輔助線的作法是難點，本題屬于競賽題型，超出教材大綱要求．