Question

如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發現球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．
（2）足球第一次落地點C距守門員多少米？（取4=7）
（3）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取=5）

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意代入x的值可得拋物線的表達式．
（2）令y=0可求出x的兩個值，再按實際情況篩選．
（3）本題有多種解法．如圖可得第二次足球彈出后的距離為CD，相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位可得
2=-（x-6）²解得x的值即可知道CD、BD．
解答：解：（1）（3分）如圖，設第一次落地時，
拋物線的表達式為y=a（x-6）²+4．（1分）
由已知：當x=0時y=1，
即1=36a+4，
∴a=-（2分）
∴表達式為y=-（x-6）²+4，（3分）
（或y=-x²+x+1）．

（2）令y=0，-（x-6）²+4=0，
∴（x-6）²=48．
x₁=4+6≈13，x₂=-4+6＜0（舍去）．（2分）
∴足球第一次落地距守門員約13米．（3分）

（3）解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為CD
根據題意：CD=EF（即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位）
∴2=-（x-6）²+4解得x₁=6-2，x₂=6+2（2分）
∴CD=|x₁-x₂|=4≈10（3分）
∴BD=13-6+10=17（米）．（4分）
解法二：令-（x-6）²+4=0
解得x₁=6-4（舍），x₂=6+4≈13．∴點C坐標為（13，0）．（1分）
設拋物線CND為y=-（x-k）²+2（2分）
將C點坐標代入得：
-（13-k）²+2=0
解得：k₁=13-2（舍去），k₂=6+4+2≈6+7+5=18（3分）
令y=0，0=-（x-18）²+2，x₁=18-2（舍去），x₂=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他應再向前跑17米．（4分）
點評：這是一道比較新穎的二次函數應用問題，解題的關鍵是要有建模思想，將題目中的語句轉化為數學語言，這樣才能較好的領會題意并運用自己的知識解決問題．