Question

已知：如圖1，當△ABO和△CDO是兩個等腰直角三角形，OA與OC，OB與OD，都在同一條直線上，∠ABO和∠CDO的角平分線分別交AC于點E和F．
（1）求證：AC=2（BE+DF）
（2）如圖2，當△ABO和△CDO變為兩個全等的直角三角形且OA與OC不在同一條直線上時，連接AC與BD交于點G，其余條件都不變，那么（1）中的結論還成立嗎？如果成立請證明，不成立說明你的理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵△AOB和△ODC是等腰直角三角形，
BE平分直角ABO，DF平分直角ODC，
∴∠A=∠AOB=45°，∠DOC=∠C=45°，∠ABE=∠OBE=∠ODF=∠CDF=45°，
∴△ABE，△OBE，△ODF，△CDF都是等腰直角三角形，
∴BE=AE=OE，DF=OF=CF，
則BE=（AE+OE）=AO，DF=（CF+OF）=OC，
∴AC=2（BE+DF）．

（2）結論成立，理由如下：
∵Rt△ABO≌Rt△CDO，
∴∠AOB=∠OCD，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠GAO=∠GCO，
∵∠AGB=∠GAO+∠AOB，∠GCD=∠GCO+∠OCD，
∴∠AGB=∠GCD，
∵∠AGB=∠DGC，
∴∠GCD=∠DGC．
∵∠GDC=90°，
∴∠DGC=∠GCD=45°，
∴Rt△GCD是等腰直角三角形，
同理可證Rt△ABG也是等腰直角三角形，
這滿足了（1）中所有條件，根據（1）就有相同的結論．
分析：（1）推出等腰直角三角形ABE、OBE、ODF、CDF，推出BE=AE=OE，DF=OF=CF即可；
（2）根據全等三角形性質推出∠AOB=∠OCD，OA=OC，根據等腰三角形性質推出∠GAO=∠GCO，求出∠AGB=∠GCD，∠GCD=∠DGC．求出∠DGC=∠GCD=45°，∠AGB=∠BAG即可．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定，角平分線性質，等腰三角形的性質等知識點的應用，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力，此題有一定難度，但題型較好．