Question

如圖11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積.

（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點D與點B重合時停止，設運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH′（如圖12）.

探究1：在運動中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能， 請求出此時t的值；若不能，請說明理由.

探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數關系.

Answer 1

解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6

∴AH=AC=×6=4

又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB

∴=，即=，∴HG=

∴S_△AHG=AH?HG=×4×=

（2）①能為正方形

∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四邊形CDH′H為平行四邊形

又∠C=90°，∴四邊形CDH′H為矩形

又CH=AC-AH=6-4=2

∴當CD=CH=2時，四邊形CDH′H為正方形

此時可得t=2秒時，四邊形CDH′H為正方形

②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB

∴當t=4秒時，直角梯形的腰EF與BA重合.

當0≤t≤4時，重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積.

過F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===

∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=

∴直角梯形DEFH′的面積為（4+）×2=

∴y=

（Ⅱ）∵當4＜t≤5時，重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積-矩形CDH′H的面積.

而S_邊形CBGH=S_△ABC-S_△AHG=×8×6-=

S_{矩形CDH′H}=2t

∴y=-2t

（Ⅲ）當5＜t≤8時，如圖，設H′D交AB于P.

BD=8-t

又=tan∠ABC=

∴PD=DB=（8-t）1         ∴重疊部分的面積y=S

△PDB=PD?DB

=?（8-t）（8-t）

=（8-t）²=t²-6t+24

∴重疊部分面積y與t的函數關系式：

y=（0≤t≤4）

-2t（4＜t≤5）

t²-6t+24（5＜t≤8）

（注：評分時，考生未作結論不扣分）