Question

12．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，則下列結論：①S_△ABP=S_△ACP；②AS=AR；③QP∥AB；④△BPR≌△QPS；⑤AQ=CQ中正確的有（　　）

• A． ①②③④
• B． ②③④
• C． ①③④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 由三角形的面積可判斷①正確；從而可知BP=PC，利用三腰三角形的性質可知AP為∠BAC的平分線，則可證得△ARP≌△ASP，可判斷②；利用等腰三角形的性質和平行線的判定可判斷③；由P為BC中點，PQ∥AB可知Q為AC中點，可判斷⑤；由③正確可得到∠PQS=∠BAC，從而可判斷④不正確；可得出答案．

解答 解：
∵AB=AC，PR=PS，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PR，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PS，
∴S_△ABP=S_△ACP，故①正確；
∴BP=CP，
∴∠PAR=∠PAS，
在△APR和△APS中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAR=∠PAS}\\{∠ARP=∠ASP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△APR≌△APS（AAS），
∴AR=AS，故②正確；
∵AQ=PQ，
∴∠PAQ=∠APQ=∠PAB，
∴PQ∥AB，故③正確；
∵P為BC中點，
∴Q為AC中點，
∴AQ=QC，故⑤正確；
若△BPR≌△QPS成立，則有∠PQS=∠B=∠BAC，則必有△ABC為等邊三角形，而由題目條件無法得到，故④不正確；
綜上可知正確的有①②③⑤，
故選D．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質和全等三角形的判定和性質，由條件證得P點為BC的中點是解題的關鍵，注意等積法的運用．