Question

【題目】如圖所示，直線y=+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是線段AB的中點，拋物線y=-x2+bx+c經過點A，P，O(原點).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在x軸上方的拋物線上是否存在一點Q，使∠QAO=45°?如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=-x2-x；（2）存在，Q點的坐標為.

【解析】（1）根據直線AB的解析式，可求得B點坐標，而P為線段AB的中點，那么點P的縱坐標為B點縱坐標的一半，由于拋物線經過原點，那么c=0，根據公式法表示出P點縱坐標，即可求得b的值，由此確定該拋物線的解析式．（2）此題應分兩種情況討論：①當Q點在x軸上方時，由于∠OAQ=45°，那么直線AQ的斜率為k=1，而A點坐標易求得，即可得到直線AQ的解析式，聯立拋物線的解析式，即可求得Q點坐標；
②當Q點在x軸下方時，方法同①．

(1)直線y=+3與x軸、y軸分別交于點A，B，且P為線段AB的中點，拋物線y=-x2+bx+c過A，P，O三點，

∴OB=3，c=0，P必為拋物線的頂點，

∴=，∴b=±.

又∵x=-=<0，∴b<0，∴b=-.

∴拋物線的表達式為y=-x2-x.

(2)存在.

∵拋物線y=-x2-x經過點A，

∴A點的坐標為(-4，0).

設Q點的坐標為(x，y)，∵∠QAO=45°，

∴x=-4+y.

將其代入拋物線的關系式中得y=-(-4+y)2-(-4+y)，解得y1=0(舍去)，y2=.

當y=時，x=-.

∴Q點的坐標為.