Question

如圖所示，在△ABC中，BC=7cm，AB=25cm，AC=24cm，P點在BC上從B點向C點運動（不包括點C），點P的運動速度為2cm∕s；Q點在AC上從C點向點A運動（不包括點A），運動速度為5cm∕s，若點P、Q分別從B、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出主要過程．
（1）經過多長時間后，P、Q兩點的距離為5cm？
（2）經過多長時間后，△PCQ面積為15cm²？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理的逆定理由條件可以得出△ABC為直角三角形，設x秒后P、Q兩點的距離為5cm，由勾股定理就可以求出結論；
（2）根據三角形的面積公式=底×高÷2，設y秒后，△PCQ面積為15cm²，根據題意建立方程可以求出結論．
解答：解：（1）∵BC=7cm，AB=25cm，AC=24cm，
∴BC²=49，AB²=625，AC²=576．
∴BC²+AC²=625，
∴BC²+AC²=AB²．
∴△ABC是Rt△．
∴∠C=90°．
設x秒后P、Q兩點的距離為5cm，
則PC=7-2x，CQ=5x，
∴（5）²=（7-2x）²+25x²，
解得：x₁=-（舍去），x₂=1，
故經過1秒后，P、Q兩點的距離為5cm；

（2）設y秒后，△PCQ面積為15cm²，由題意得：
，
解得：x₁=2，x₂=1.5，
故經過2秒或1.5秒后，△PCQ面積為15cm²．
點評：本題考查了勾股定理的逆定理的運用，勾股定理的運用及三角形面積公式的運用，在解答時運用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形是關鍵．