Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，AC=AD，∠CAD=α，在CB邊上取一點E，使∠DEB與∠DAC互補，探究線段AE、DE、CE的數量關系．

Answer 1

分析 截取DF=CE，過A點作AH⊥DE于H，如圖，利用等角的補角相等得到∠DAC=∠DEC，再利用三角形內角和可得∠3=∠4，則利用“SAS”可判斷△ADF≌△ACE，所以∠DAF=∠CAE，AF=AE，則∠DAC=∠FAE=α，接著根據等腰三角形的性質得FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，然后利用正弦的定義有HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，則EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，于是得到DE=DF+EF=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

解答 解：截取DF=CE，過A點作AH⊥DE于H，如圖，
∵∠DEB+∠DAC=180°，
而∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DAC=∠DEC，
而∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△ADF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠3=∠4}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACE，
∴∠DAF=∠CAE，AF=AE，
∴∠DAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE，
即∠DAC=∠FAE=α，
∵AH⊥EF，AF=AE，
∴FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，
在Rt△AEH中，∵sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}$，
∴HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∴EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∵DE=DF+EF，
∴DE=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．解決本題的關鍵是在DE上截取DF=CE．