Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-x-與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在x軸正半軸上，且OC=3AO，過點A作BC的平行線l．

（1）求直線BC的解析式；

（2）作點A關于BC的對稱點D，一動點P從C點出發按某一路徑運動到直線l上的點M，再沿垂直BC的方向運動到直線BC上的點N，再沿某一路徑運動到D點，求點P運動的最短路徑的長以及此時點N的坐標；

（3）如圖2，將△AOB繞點B旋轉，使得A′O′⊥BC，得到△A′O′B，將△A′O′B沿直線BC平移得到△A″O″B′，連接A″、B″、C，是否存在點A″，使得△A″B′C為等腰三角形？若存在，請直接寫出點A″的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x-;(2) 2, N（，-）;(3)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖2中，作點C關于直線AF的對稱點C′，連接CC′交AF于點F，連接DF交BC于N，作NE⊥AF于E，連接EC，則此時CE+EN+DN的值最小，最小值=線段DF的長；

（3）分四種情形分別畫出圖形求解即可．

（1）∵直線y=-x-與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（-1，0），B（0，-），

∵OC=3OA，

∴OC=3，

∴C（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x-；

（2）如圖2中，作點C關于直線AF的對稱點C′，連接CC′交AF于點F，連接DF交BC于N，作NE⊥AF于E，連接EC，則此時CE+EN+DN的值最小，最小值=線段DF的長．

由題意D（1，-2），

∵直線CF的解析式為y=x+，直線CF的解析式為y=-x+3，

由，解得，

∴F（2，），

∴DF==2，

∴點P的路徑的最小值為2，

∵直線DF的解析式為y=3x-5，

由，解得，

∴N（，-）；

（3）由題意，BO′=BO=，AB=BA′=2，OA=O′A′=1，點O′向下平移個單位，向右平移單位得到A′，

①如圖3中，當CB′=B′A″=2時，此時O″（，-），可得A″（2-，-1-）．

②如圖4中，當CB′=CA″時，設CB′=CA″=x，則有x2=12+（-x）2，

可得x=，此時O″（，-），可得A″（3，-）．

③當B′C=B′A″=2時，O″（，），可得A″（2+，1-）

④當CA″=B′A″=2時，O″（，），可得A″（5，0）．

綜上所述，滿足條件的點A″的坐標為（2-，-1-）或（3，-）或（2+，1-）或（5，0）．