Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，BC是圓O的弦，弦ED⊥AB于點F,交BC于點G，過點C作圓O的切線與ED的延長線交于點P．

（1）求證：PC＝PG；
（2）點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數量關系，并寫出證明過程；
（3）在滿足（2）的條件下，已知圓為O的半徑為5,若點O到BC的距離為時，求弦ED的長．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OC，

∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC，∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
（2）CG、BF、BO三者之間的數量關系為CG²=BO•BF。理由如下：
如圖，連接OG，
∵點G是BC的中點，∴OG⊥BC，BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG：BF=BO：BG。
∴BG²=BO•BF。∴CG²=BO•BF。
（3）如圖，連接OE，
由（2）得BG⊥BC，∴OG=。
在Rt△OBG中，OB=5，∴。
由（2）得BG²=BO•BF，∴。∴OF=1。
在Rt△OEF中，。
∵AB⊥ED，∴EF=DF。
∴DE=2EF=。

試題分析：（1）連接OC，根據切線的性質得OC⊥PC，則∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根據對頂角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG。
（2）連接OG，由點G是BC的中點，根據垂徑定理的推論得OG⊥BC，BG=CG，易證得Rt△BOG∽Rt△BGF，則BG：BF=BO：BG，即BG2=BO•BF，把BG用CG代換得到CG²=BO•BF。
（3）連接OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理計算出BG=2，再利用BG2=BO•BF可計算出BF，從而得到OF=1，在Rt△OEF中，根據勾股定理計算出EF=2，由于AB⊥ED，根據垂徑定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4。