Question

【題目】如圖，拋物線 y =-x2+3x +4 與x軸負半軸相交于A點，正半軸相交于B點，與 y 軸相交于C 點．

（1）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線 BC 對稱的點的坐標；

（2）在（1）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）（，）．

【解析】

(1)先求得點 C的坐標，判斷出CD∥AB，求出CD=3，進而判斷出點E在y軸上，進而求出CE=3，即可得出結論；
(2)先判斷出∠CBD=∠PBF，進而判斷出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，進而得出，進而設出PF得出BF，OF，得出點P的坐標，代入拋物線解析式中，即可得出結論．

(1)將點(，)代入中，得：

，

解得：或3，

∵點在第一象限，

∴，

∴點D的坐標為(3，4)；

令，則，

解得：，

令，則，

由題意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，

∴OC=OB=4，BC=，CD=3，

∵點C、點D的縱坐標相等，

∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，

∴點D關于直線BC的對稱點E在軸上．

根據對稱的性質知：CD=CE=3 ，

∴，

∴點關于直線對稱的點E的坐標為(0，1)；

(2)作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，

由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．

∵，

∴∠CBD=∠PBF．

∵CD=3，∠DCB=45°，

∴CG=DG=，

∵BC=，

∴BG=

∴．

設，則，．

∴，

∵P點在拋物線上，

∴

解得：或t=0(舍去)．

∴點P的坐標為(，)．