Question

如圖，已知CD為⊙O的直徑，點A為DC延長線上一點，B為⊙O上一點，且∠ABC=∠D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若tanD=

1

2

，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）連結OB，根據圓周角定理得到∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°，而∠D=∠OBD，∠ABC=∠D，則∠ABC=∠OBD，所以∠OBA=90°，于是可根據切線的判定定理得到結論；
（2）設BC=x，利用正切的定義得到BD=2x，根據勾股定理得到CD=

5

x，則OB=OC=

5

2

x，易證得△ABC∽△ADB，利用相似比可得AB=2AC，在Rt△OAB中，根據勾股定理得到AC=

5

3

x，然后根據正弦的定義求解．

解答：（1）證明：連結OB，如圖，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∵∠ABC=∠D，
∴∠ABC=∠OBD，
∴∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB為⊙O的切線；

（2）解：設BC=x，
在Rt△BCD中，tanD=

BC

BD

=

1

2

，
∴BD=2x，
∴CD=

BD2+BC2

=

5

x，
∴OB=OC=

5

2

x，
∵∠ABC=∠D，∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

BC

BD

=

1

2

，
∴AB=2AC，
在Rt△OAB中，∵OB²+AB²=AO²，
∴（

5

2

x）²+（2AC）²=（

5

2

x+AC）²，
∴AC=

5

3

x，
∴OA=

5

2

x+

5

3

x=

5 5

6

x，
∴sinA=

OB

OA

=

5 x 2

5 5 x 6

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數．