Question

已知拋物線．
【小題1】試說明：無論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
【小題2】如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？（直接寫出平移的方法，不要說明理由）

Answer 1

【小題1】該拋物線與x軸總有兩個不同的交點
【小題2】點P坐標為（5，0）;平行四邊形解析:
解：⑴ 該函數的判別式=m²﹣4m+7=（m﹣2）²+3>0
∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點； ……………………………………3分

⑵ 由直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，∴點A（1，0）代入二次函數式則m=3
∴二次函數式為：             ……………………………………4分
當拋物線的對稱軸為直線x=3時，則y=﹣2，
即頂點C為（3，﹣2），……………………………………5分
把x=3代入直線y=x﹣1則y=2，
即點D（3，2）         ……………………………………6分
設點P（x，），如右圖所示：
由題意知： PH=CH，（或PH=DH）
則
解得：x=3或x=5       ……………………………………8分
則點P（3，2）（與點D重合舍去）或（5，0）
經檢驗點（5，0）符合，
所以點P坐標為（5，0）；……………………………………9分
(注：其它方法酌情給分)
②把直線CD向右平移1+個單位或2個單位，向左平移﹣1個單位，能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．