Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E為邊BC上的一個（不與B、C重合）點，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于點F．

（1）填空：AC＝_____；∠F＝______．

（2）當BD＝DE時，證明：△ABC≌△EAF．

（3）△EAF面積的最小值是____．

（4）當△EAF的內心在△ABC的外部時，直接寫出AE的范圍_____．

Answer 1

【答案】（1）2，30°；（2）見解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）利用∠B的正切值可求出AC的長；根據直角三角形兩銳角互余的關系即可求出∠F的度數；

（2）根據垂直平分線的性質可得AB=AE，利用ASA即可證明△ABC≌△EAF；

（3）由∠EAF=60°，∠AEF=90°可得EF＝AE，進而可得AE⊥BC時△EAF面積最小，利用∠B的正弦可求出AE的值，進而可求出△EAF的面積；

（4）如圖，當△EAF的內心在AC邊上時，設內心為N，根據內心的定義可知∠EAC=30°，可求出∠BAE=60°，可證明△BAE是等邊三角形，可求出AE=AB=2，由（1）可知AC=2，即可得出AE的取值范圍．

（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝，

∴AC＝ABtanB＝2tan60°＝2；

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∵∠EAF＝∠B＝60°，

∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．

故答案為：2，30°；

（2）當BD＝DE時，

∵AD⊥BC于D，

∴AB＝AE，

∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，

∴∠AEF＝∠BAC，

在△ABC和△EAF中，，

∴△ABC≌△EAF（ASA）；

（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝，

∴EF＝AEtan∠EAF＝AEtan60°＝AE，

∴S△EAF＝AEEF＝AE×AE＝AE2，

當AE⊥BC時，AE最短，S△EAF最小，此時∠AEB＝90°，sinB＝，

∴AE＝ABsinB＝2sin60°＝2×＝，

S△EAF＝AE2＝×3＝，

∴△EAF面積的最小值是，

故答案為：；

（4）設△EAF的內心為N，

∵∠AEF=45°，∠B=30°，E為BC上的一點，不與B、C重合，

∴EN與AC一定有交點，

如圖：當△EAF內心恰好落在AC上時，連接EN，

∵N是△EAF的內心，

∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，

∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，

∵∠B＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE＝AB＝2，

∵E為BC上的一點，不與B、C重合，由（1）可知AC＝2，

∴當△EAF的內心在△ABC的外部時，．

故答案為：．