Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于、B兩點，與y軸交點C的坐標為，為拋物線頂點，連結AD，點M為線段AD上動點（不含端點），BM與y軸交于點N．

（1）求拋物線解析式；

（2）是否存在點M使得與相似，若存在請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）求當BM將四邊形ABCM分為面積相等的兩部分時ON的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，M坐標為，，；（3）

【解析】

（1）將代入解析式解方程即可；

（2）兩三角形相似有兩種對應關系，當時滿足題意，設M坐標代入AC解析式即可，當時也滿足題意，根據相似三角形列比例式求解即可；

（3）設點M坐標，利用鉛垂線法求兩個三角形面積，利用相等條件列方程求解即可.

解：（1）將代入解析式得：

，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）存在

理由：，

，

設直線解析式為，

將代入得，

，

解得：，

∴直線解析式為，

當時，

，，

設，代入得，

，

解得：，

；

當時，，

作直線軸交x軸與點E，作直線交ME軸與點F，

，

，

又，

，

，

，

設，又，

∴可得，

，

，

即，

解得：，

或，

綜上當M坐標為，，時，滿足題意；

（3）作軸交于點G，

設直線BC解析式為，

將代入解析式得，

，

解得，

∴直線BC解析式為，

設，

則，

將代入直線BC解析式得，

，

，

，

，

，

由題意得，

解得，

，

設直線BM的解析式為，

將代入BM解析式得，

，

解得，

，