Question

如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A的坐標是（0，16），AB平行于x軸，B，C，D三點在拋物線y=x²上，DC交y軸于N點，一條直線OE與AB交于E點，與DC交于F點，如果E點的橫坐標為a，四邊形ADFE的面積為．
（1）求出B，D兩點的坐標；
（2）求a的值；
（3）作△ADN的內切圓⊙P，切點分別為M，K，H，求tan∠PFM的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的解析式，而B的縱坐標就是A點的縱坐標，可代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，也就知道了AB的長，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此AB=CD，根據拋物線的對稱性，即可求出D點的橫坐標．然后代入拋物線的解析式中即可得出D點的坐標；
（2）先根據E點坐標表示出直線上OE的解析式，進而求出F點的坐標．在梯形ADFE中，上下底的長就可求出，高是AN即A、D兩點縱坐標的差，然后可根據梯形ADFE的面積求出a的值．
（3）求∠PFM的正切值，就要構建直角三角形，連接PM，PK，直角三角形PMN中，已知了FN的長（根據F點坐標可求得），而MN=PM=r，因此求出圓P的半徑是關鍵．△ADN中，根據A、D兩點的坐標即可求出AD、AN、DN的長．由于圓P內切于△ADN，因此可根據三角形內切圓半徑公式求出圓P的半徑．進而可在直角三角形PMF中，根據tan∠PFM=r：（r+FN）求出∠PFM的正切值．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，16），且AB∥x軸
∴B點縱坐標為16，且B點在拋物線y=x²上
∴點B的坐標為（10，16）
又∵點D、C在拋物線y=x²上，且CD∥x軸
∴D、C兩點關于y軸對稱
∴DN=CN=5
∴D點的坐標為（-5，4）．

（2）設E點的坐標為（a，16），則直線OE的解析式為：
∴F點的坐標為（）
由AE=a，DF=且S_梯形ADFE=，
解得a=5．

（3）連接PH，PM，PK
∵⊙P是△AND的內切圓，H，M，K為切點
∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN=5，AN=12，得AD=13
設⊙P的半徑為r，則S_△AND=（5+12+13）r=×5×12，r=2
在正方形PMNK中，PM=MN=2
∴MF=MN+NF=2+=
在Rt△PMF中，tan∠PFM=．
點評：本題考查了三角形的內切圓，解直角三角形，平行四邊形的性質，二次函數的性質等知識點，綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．