Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，點O是AB邊上動點，以O為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點為D，過點D作AB的垂線，交⊙O于點E，聯結BE、AE

（1）如圖（1），當AE∥BC時，求⊙O的半徑長；

（2）設BO=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

（3）若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點D、E，當⊙A恰好也過點C時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半徑長為；（2）y =，定義域（0＜x≤）；（3）當⊙A恰好也過點C時，DE的長為或12．

【解析】

（1）如圖1中，過點O作OG⊥BD于G設AB與DE的交點為F．首先證明AE＝BD＝DC＝10，再利用垂徑定理求出BG，在Rt△BOD中，解直角三角形即可；

（2）如圖2中，過點A作AH⊥BC于H，如圖（2），首先求出AB、AC、AH，根據y＝AE＝AD＝，即可解決問題；

（3）分兩種情形①若點D在H的左邊，如圖（2），②若點D在H的右邊，分別求解即可解決問題．

（1）過點O作OG⊥BD于G，設AB與DE的交點為F，如圖（1），

∵OG⊥BD于G，

∴BG=DG．

∵DE⊥AB，

∴EF=DF，

∵AE∥BC，

∴∠AEF=∠BDF．

在△AEF和△BDF中，

，

∴△AEF≌△BDF，

∴AE=BD．

∵∠BFD=∠BAC=90°，

∴DE∥AC．

∵AE∥BC，

∴四邊形AEDC是平行四邊形，

∴AE=DC，

∴BD=DC=BC=5，

∴BG=DG=BD=．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG=×=，

∴OB===，

∴⊙O的半徑長為；

（2）過點A作AH⊥BC于H，如圖（2），

在Rt△BAC中，

tan∠ABC==，

設AC=3k，則AB=4k，

∴BC=5k=10，

∴k=2，

∴AC=6，AB=8，

∴AH===，

∴BH==，

∴HC=BC﹣BH=10﹣=．

∵AB⊥DE，

∴根據垂徑定理可得DF=EF，

∴AB垂直平分DE，

∴AE=AD．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG，

∴OB===BG=x，

∴BG=x，

∴BD=2BG=x，

∴DH=BH﹣BD=﹣x，

∴y=AE=AD===

定義域（0＜x≤）；

（3）①若點D在H的左邊，如圖（2），

∵AD=AC，AH⊥DC，

∴DH=CH=，

∴BD=BH﹣DH=﹣=．

在Rt△BFD中，

tan∠FBD==，

∴BF=DF，

∴BD== DF=，

∴DF=，

∴DE=2DF=；

②若點D在H的右邊，

則點D與點C重合，

∴BD=BC=10，

∴DF=10，

∴DF=6，

∴DE=2DF=12．

綜上所述：當⊙A恰好也過點C時，DE的長為