Question

如圖，拋物線F₁：y₁=-x²-x+1與拋物線F₂：y₂=x²-x-1相交于A、B兩點，拋物線F₁與拋物線F₂分別交y軸于點C、點D
（1）判斷四邊形ACBD的形狀為

 

，其面積為

 

；
（2）若將“拋物線F₁：y₁=-x²-x+1與拋物線F₂：y₂=x²-x-1”分別改為“拋物線F₁：y₁=-ax²-bx+1與拋物線F₂：y₂=ax²-bx-1，且（a＞0）”，則四邊形ACBD的形狀是否發生變化？說明理由；
（3）在（2）的前提下，當b滿足怎樣的條件時，四邊形ACBD是菱形．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）（2）題的思路是一致的；根據拋物線F₁、F₂的解析式，可確定C（0，1）、D（0，-1）；聯立兩個拋物線的解析式，可求得A（-

a

a

，-

b

a

），B（

a

a

，

b

a

），由此可發現C、D以及A、B都關于原點O對稱，那么AB、CD互相平分，所有四邊形ACBD是平行四邊形；那么它的面積可由CD與A、B橫坐標差的絕對值的積的一半求得；根據這些結論即可得到（1）題的填空答案．
（3）若四邊形ACBD是菱形，那么AB、CD互相垂直平分，此時A、B都在x軸上，且關于原點對稱，所以A、B的縱坐標值為0，由此可求得a的值，進而可得到A、B的坐標，代入拋物線的解析式中，即可確定b的值．

解答：解：（1）四邊形ACBD是平行四邊形，面積為2．（證明過程同（2）．）

（2）四邊形ACBD的形狀不變，仍為平行四邊形，理由如下：
聯立F₁、F₂的解析式，可得：

y=-ax2-bx+1 y=ax2-bx-1

，
解得

x= a a y=- b a

，

x=- a a y= b a

；
故A（-

a

a

，

b

a

），B（

a

a

，-

b

a

）；
易知C（0，1），D（0，-1）；
則A、B，C、D都關于原點對稱，
即AB、CD互相平分，
因此四邊形ACBD是平行四邊形；
S_?ACBD=

1

2

CD×|x_B-x_A|=

1

2

×2×

2 a

a

=

2 a

a

．

（3）若平行四邊形ACBD是菱形，則AB、CD互相垂直平分，那么A、B必在x軸上，則：
-

b

a

=

b

a

=0，
即b=0；
故當b=0時，四邊形ACBD是菱形．

點評：此題考查了二次函數的性質、函數圖象交點坐標的求法、平行四邊形的判定以及面積的求法、菱形的判定等知識，熟練掌握各特殊四邊形的判定方法是解答此題的關鍵．