Question

定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經(jīng)過(guò)F₁的頂點(diǎn)A．設(shè)F₂的對(duì)稱軸分別交F₁、F₂于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖①，若F₁：y=x²經(jīng)過(guò)變換得到F₂：y=x²+bx，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），求拋物線F₂的解析式；
（Ⅱ）如圖②，若F₁：y=ax²+c經(jīng)過(guò)變換后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），求△ABD的面積；
（Ⅲ）如圖③，若F₁：y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

經(jīng)過(guò)變換滿足AC=2

3

，點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離與到直線AD的距離之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用y=x²經(jīng)過(guò)變換得到F₂：y=x²+bx，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），直接將C點(diǎn)代入即可求出；
（2）由y=ax²+c經(jīng)過(guò)變換后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），根據(jù)A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

，即可表示出△ABD的面積；
（3）求出y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸，從而表示出F₂的解析式，判斷出四邊形ABCD是菱形，要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，進(jìn)而求出．

解答：解：（Ⅰ）將點(diǎn)C（2，0）的坐標(biāo)代入拋物線F₂的解析式，
得b=-2，
∴F₂的解析式為y=x²-2x．

（Ⅱ）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

，
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2．
（Ⅲ）如圖③，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)，
拋物線y=

1

3

x2-

2

3

x+

7

3

，配方得y=

1

3

(x-1)2+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，2），
∵AC=2

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+2

3

，2)．
∵F₂過(guò)點(diǎn)A，
∴F₂的解析式為y=

1

3

(x -1-

3

)2+1，
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，
∴B（1+

3

，1)，
∴D（1+

3

，3)，
∴NB=ND=1，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h(yuǎn)．
∵DN=1，AN=

3

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，故△ABD是等邊三角形．
∴h=

3

2

AD=

3

．
∴點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離與到直線AD的距離之和的最小值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的圖形變換與頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題是近幾年中考中新題型，也是數(shù)形結(jié)合的典型代表題目．