Question

定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經過F₁的頂點A．設F₂的對稱軸分別交F₁、F₂于點D、B，點C是點A關于直線BD的對稱點．

（Ⅰ）如圖①，若F₁：y=x²經過變換得到F₂：y=x²+bx，點C坐標為（2，0），求拋物線F₂的解析式；
（Ⅱ）如圖②，若F₁：y=ax²+c經過變換后點B的坐標為（2，c-1），求△ABD的面積；
（Ⅲ）如圖③，若F₁：經過變換滿足AC=2，點P是直線AC上的動點，求點P到點D的距離與到直線AD的距離之和的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）將點C（2，0）的坐標代入拋物線F₂的解析式，
得b=-2，
∴F₂的解析式為y=x²-2x．

（Ⅱ）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得，
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2．
（Ⅲ）如圖③，點C在點A的右側，
拋物線，配方得，
頂點坐標是A（1，2），
∵AC=2，
∴點C的坐標為．
∵F₂過點A，
∴F₂的解析式為，
設AC與BD交于點N，
∴B（，
∴D（，
∴NB=ND=1，
∵點A與點C關于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∵點P在直線AC上，
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，故△ABD是等邊三角形．
∴．
∴點P到點D的距離與到直線AD的距離之和的最小值為．
分析：（1）利用y=x²經過變換得到F₂：y=x²+bx，點C坐標為（2，0），直接將C點代入即可求出；
（2）由y=ax²+c經過變換后點B的坐標為（2，c-1），根據A（0，c）在F₂上，可得，即可表示出△ABD的面積；
（3）求出的頂點坐標與對稱軸，從而表示出F₂的解析式，判斷出四邊形ABCD是菱形，要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，進而求出．
點評：此題主要考查了二次函數的圖形變換與頂點坐標的求法，以及等邊三角形的性質等知識，此題是近幾年中考中新題型，也是數形結合的典型代表題目．