Question

14、已知：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，兩根為x₁、x₂，求x₁²+x₂²的最大值與最小值，并求此時方程的根．

Answer 1

分析：先根據判別式△≥0求出k的取值范圍，再根據根與系數的關系求解即可．

解答：解：方程x²-2（k-1）x+2k²-12k+17=0，兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=2k²-12k+17，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=4（k²-2k+1）-2（2k²-12k+17）
=-8k+4+24k-34
=16k-30，
∵△=4（k²-2k+1）-4（2k²-12k+17）
=-4k²+40k-64≥0，
解得：2≤k≤8，
∴當k=8時，最大值為98，方程為x²-14x+49=0，兩根為7；
當k=2時，最小值為2，方程為x²-2x+1=0，兩根為1．

點評：本題考查了根與系數的關系，屬于基礎題，關鍵是根據判別式△≥0求出k的取值范圍．