Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結論中，①AB上一點與AC上一點到D的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正確的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據等邊對等角的性質可得∠B=∠C，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AD上的點到AB、AC兩邊的距離相等，再根據等腰三角形三線合一的性質可得BD=CD，AD⊥BC，然后對各小題分析判斷解答即可．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB上一點與AC上一點到D的距離相等錯誤；AD上任意一點到AB、AC的距離相等正確，故①錯誤，②正確；
又∵∠BDE=90°-∠B，∠CDF=90°-∠C，
∴BDE=∠CDF，故③正確；
根據等腰三角形三線合一的性質，BD=CD，AD⊥BC，故④正確，
綜上所述，正確的結論有②③④共3個．
故選C．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．