Question

（2012•金東區一模）如圖，拋物線y=ax²+c經過點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

）．在該拋物線上取點B₃（3，y₃），B₄（4，y₄），…，B₁₀₀（100，y₁₀₀），在x軸上依次取點A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁分別是以∠B₁，∠B₂，…，∠B₁₀₀為頂角的等腰三角形，設A₁的橫坐標為t（0＜t＜1）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）記△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁的面積分別為S₁，S₂，…，S₁₀₀，用含t的代數式分別表示S₁，S₂和S₁₀₀；
（3）在所有等腰三角形中是否存在直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

）代入拋物線解析式得到關于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可得解；
（2）根據點A₁的坐標利用等腰三角形三線合一的性質分別求出A₂、A₃的坐標，然后求出A₁A₂、A₂A₃的長度，再根據三角形的面積公式列式計算即可求出S₁、S₂，依此類推求出求出A₃A₄、A₄A₅的長度，然后得出規律并表示出A₁₀₀A₁₀₁的長度，再把x=100代入拋物線解析式求出y₁₀₀，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）按照從左到右的順序，依次令三角形為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半列式求解得到t的值，再根據t的取值范圍進行判斷．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+c經過點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

），
∴

a+c= 1 3 4a+c= 7 12

，
解得

a= 1 12 c= 1 4

，
所以，拋物線解析式為y=

1

12

x²+

1

4

；

（2）∵A₁的橫坐標為t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁=

1

2

×（2-2t）×

1

3

=

1-t

3

，S₂=

1

2

×2t×

7

12

=

7

12

t，
依此類推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀=

1

12

×100²+

1

4

=

10003

12

；
∴S₁₀₀=

1

2

×2t•

10003

12

=

10003

12

t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂為等腰直角三角形，則A₁A₂=2-2t=2×

1

3

，
解得t=

2

3

，
若△A₂B₂A₃為等腰直角三角形，則A₂A₃=2t=2×

7

12

，
解得t=

7

12

，
若△A₃B₃A₄為等腰直角三角形，則A₃A₄=2-2t=2（

32

12

+

1

4

），
解得t=0，依次向右，t逐漸變小，
∵0＜t＜1，
∴t的值為

2

3

，

7

12

時，所有等腰三角形中存在直角三角形．

點評：本題是二次函數的綜合題型，主要涉及待定系數法求二次函數解析式，等腰三角形三線合一的性質，以及規律探尋，（2）中求出等腰三角形底邊的變化規律是解題的關鍵．