Question

23、如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在∠MON的邊OM上移動，移動過程中始終保持AB⊥ON于點B，AC⊥OM于點A．∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點．
（1）點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數量關系，并說明理由；
（2）點A在移動的過程中，若射線ON上始終存在一點F與點A關于OP所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點的四邊形是怎樣特殊的四邊形？
（3）若∠MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據“AB⊥ON于點B，AC⊥OM于點A”可以得到∠DOB+∠BDO=90°，∠AOE+∠AED=90°，又OP是∠MON的平分線、∠BDO與∠ADE是對頂角，所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE；
（2）根據軸對稱的性質AD=DF，AE=AF，又AD=AE，所以四邊形ADFE是菱形；
（3）∠MON=45°，則∠ACO=45°所以△EFC是等腰直角三角形，EF=FC，再證明△OAE與△OFE全等可以得到OA=OF，結合菱形的四條邊都相等，即可得到OC=AC+AD．

解答：解：（1）AE=AD（2分）
理由：∵AD⊥OC，AC⊥OM，
∴∠ABO=∠EAO=90°，
∴∠AOD+∠DEA=∠DOB+∠ODB=90°，
∵∠AOD=∠DOB，∠ODB=∠ADE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；

（2）菱形（3分）
（法一）：連接DF、EF
∵點F與點A關于直線OP對稱，
E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD．（5分）
由（1）得AE=AD
∴AE=FE=AD=FD
∴四邊形ADFE是菱形（7分）

（法二）：連接AF交DE于點G，連接DF，EF．
點F與點A關于直線OP對稱可知：AF⊥DE，AE=FE，（3分）
∴AG=FG，
又∵AE=AD
∴DG=EG
∴四邊形ADFE是平行四邊形（6分）
∵AF⊥DE
∴平行四邊形ADFE是菱形（7分）
（3）OC=AC+AD（8分）
（法一）：證明：連接EF．
∵點F與點A關于直線OP對稱，
∴AO=OF
∵AC⊥OM，∠MON=45°
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°
∴OF=AO=AC（10分）
由（2）知四邊形ADFE是菱形
∴EF∥ABAD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90°
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF
∴FC=EF=AD
又∵OC=OF+FC
∴OC=AC+AD（12分）

（法2）證明：連接EF．
∵AC⊥OM，∠MON=45°
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°
∴AO=AC
由（2）知四邊形ADFE是菱形
∴EF∥ABAD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90°
∵∠ACO=45°
∴∠FEC=∠ACO=45°（9分）
∴FC=FE=AD
∵∠AOE=∠FOE
∵OE=OE，∠OAC=∠OFE=90°
∵△OAE≌△OFE（11分）
∴OA=OF
∴OF=AC
又∵OF+FC=OC
∴AC+AD=OC（12分）

（法3）證明：延長EA到G點，使AG=AE
∵∠OAE=90°
∴OA⊥GE
∴OG=OE
∴∠AOG=∠EOA
∵∠AOC=45°，OP平分∠AOC
∴∠AOE=22.5°
∴∠AOG=22.5°∠G=67.5°
∴∠COG=∠G=67.5°
∴CG=OC（10分）
由（1）得AD=AE
∵AD=AE=AG
∴AC+AD=OC（12分）

點評：（1）利用角平分線的性質和等角的余角相等求出角相等，再根據等角對等邊的性質解答；
（2）考查軸對稱的性質和四條邊都相等的四邊形是菱形的判定方法；
（3）利用菱形的性質和等腰直角三角形的性質證明．