Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點、，頂點為M．

（1）求拋物線的解析式和點M的坐標；

（2）點E是拋物線段BC上的一個動點，設的面積為S，求出S的最大值，并求出此時點E的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以A、P、C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），M(1，4)；（2）當時，S最大=，E(，)；（3）存在，P1(1，)，P2(1，)，P3(1，1)，P4(1，2)．

【解析】

（1）將點、的坐標代入函數解析式，列出方程組，通過解方程組求得、的值即可；利用配方法將函數解析式轉化為頂點式，即可得到點的坐標；

（2）利用待定系數法確定直線解析式，由函數圖象上點的坐標特征求得點、的坐標，然后根據兩點間的距離公式求得長度，結合三角形的面積公式列出函數式，根據二次函數最值的求法求得點的橫坐標，易得其縱坐標，則點的坐標迎刃而解了；

（3）需要分類討論：點、、分別為直角頂點，利用勾股定理求得答案．

解：（1）拋物線與軸交于點、，

．

解得．

，則；

（2）如圖，作軸交于點

，，

直線解析式為：．

設，則．

．

．

當時，S最大．

此時，點的坐標是，；

（3）設，、，

，，．

①當時，，即．解得．

②當時，，即．解得．

③當時，，即．解得或2．

綜上所述，存在，符合條件的點的坐標是或或或，