Question

【題目】閱讀材料：

如果兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式： ，當且僅當a＝b時取等號，我們把叫做正數a，b的算術平均數，把叫做正數a，b的幾何平均數，于是上述的不等式可以表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）他們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具．

實例剖析：

已知x＞0，求式子的最小值．

解：令a＝x，b＝，則由，得當且僅當時，方程兩邊同時乘x，得到，解得x＝2，式子有最小值，最小值為4．

學以致用：

根據上面的閱讀材料回答下列問題：

（1）已知x＞0，則當x＝__________時，式子取到最小值，最小值為：_______________

（2）用籬笆圍一個面積為100m的長方形花園，問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

（3）已知x＞0，則x取何值時，式子取到最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) 當矩形的長、寬各為10米時，所用籬笆最短，最短為40米；(3) 當x=3時，y取得最小值為4．

【解析】

(1)令a=2x，b=，這兩個數都是正數，根據閱讀材料就可以直接得到結果；

(2)設這個矩形的長為x米，則寬=面積÷長，即寬為米，則所用的籬笆長等于長加寬的和乘以2，根據閱讀材料即可求解；

(3)將原式整理成，根據閱讀材料直接求解最小值即可．

解：(1)令a=2x，b=，

已知，

則，

當且僅當時，即，式子有最小值．

(2) 設這個矩形的長為x米，所用籬笆的長度為y米，

根據題意得：，

由上述性質可知：

∵，

∴，

此時，

解得：x=10，

∴當矩形的長、寬各為10米時，所用籬笆最短，最短為40米．

(3) ，

，

當時，y取得最小值為4，

∴當x=3時，y取得最小值為4．